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Aug
22
2011

Binomische Formeln

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22. 08. 2011

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DAA Mathe 10.11.10

Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln sind:

    \[(a+b^2) = a^2 + 2ab + b^2\]

    \[(a-b^2) = a^2 - 2ab + b^2\]

    \[(a+b)*(a-b) = a^2 - b^2\]

Binome sind Freunde

Die binomischen Formeln sind unter Lernenden oft anfangs verhasst: Warum soll man sie lernen, wenn sich die Aufgaben doch auch so ausrechnen lassen? Ist nicht auch die Suche und das Erkennen eines Binoms viel aufwendiger, als fix das Binom aufzulösen? Schliesslich kann man doch auch “zu Fuß” ausmultiplizieren!
Nein! Denn mit dem “zu Fuß” ausmultiplizieren ist es schnell vorbei, sobald man die Übungsaufgaben hinter sich gelassen hat. Es werden Aufgaben folgen, die nur lösbar sind, wenn man das Binom erkennt und umformt. Oder sich das Binom sogar als Helfer selbst dazu bastelt. Zum Beispiel bei Wurzelgleichungen.
Außerdem: Binome verkürzen den Zeitaufwand. In einer Klausur sind sie somit Gold wert. Wie gute Freunde eben.

Beispiel für eine Rechnung mit Binom

    \[\frac{2x^2-6}{\textcolor{magenta}{1-x^2}}+\frac{2x+2}{x-1}=\frac{16}{2x+2}\]

Daraus wird durch Einsatz der 2ten binomischen Formel im ersten Bruch, Multiplikation mit -1 im zweiten Bruch und Ausklammern & Kürzen des dritten Bruchs

    \[\frac{2x^2-6}{\textcolor{magenta}{(1+x)*(1-x)}}+\frac{-2x-2}{1-x}=\frac{\cancelto{8}{16}}{\cancel{2}(x+1)}=\frac{8}{x+1}\]

Nun werden der zweite und dritte Bruch gleichnamig zum ersten gemacht, indem mit (1+x) bzw. (1-x) multipliziert/erweitert wird.

    \[\frac{2x^2-6}{\textcolor{magenta}{(1+x)*(1-x)}}+\frac{(-2-2)*(1+x)}{\textcolor{magenta}{(1+x)*(1-x)}} =\frac{8(1-x)}{\textcolor{magenta}{(1+x)*(1-x)}} \]

Nun folgt die Multiplikation jedes Terms der Gleichung mit   dem Binom-Nenner {(1+x)*(1-x)}

    \[2x^2-6+(2x-2)*(1+x)=8*(1-x)\]

Nach einfachem Ausklammern bleibt übrig:

    \[2x^2-6-2x-2x^2-2-2x=8-8x\]

Die beiden Potenzen elimieren sich gegenseitig, so dass

    \[-6-2x-2-2x=8-8x\]

übrig bleibt.
Wir bringen mit +8x das x auf die linke Seite

    \[-8+4x=8\]

und mit +8 bereinigen wir die linke Seite zu

    \[4x=16\]

Also dividiert durch 4 lösen wir zu

    \[x=4\]

 

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Über den Autor

Mario Liedtke

Mario Liedtke studiert seit dem 01.10.2010 an der DAA Düsseldorf Betriebswirtschaftslehre und wird voraussichtlich 2014 seinen Master machen. Als Zwischenziel erfolgt die Prüfung zum staatlich geprüften Betriebswirt.

Permanentlink zu diesem Beitrag: http://www.betriebswirtblog.de/2011/08/binomische-formeln/

1 Kommentar

  1. Eva sagt:

    9. 01. 2012 von 10:57 (UTC 2)

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    Jetzt habe ich es! Juuuuhuuu! ;)
    Schaut mal, das hat mir auch geholfen:

    http://vilogo.tv/videos/binomische-formeln

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