Aug 22 2011

Brüche + Bruchrechnung

DAA Mathe 27.10.10

Brüche und Bruchrechnung

Der Bruch  \frac{a}{b} ist gleichwertig mit der Division a : b – er gibt das (Größen-)Verhältnis von a zu b an.

Jeder Bruch ist grundsätzlich wie folgt aufgebaut:

    \[\frac{Zähler}{Nenner}\]

Da Brüche ein Größenverhältnis angeben, kann man mit ihnen prima spielen. Denn \frac{1}{2}=0,5 ist das gleiche Verhältnis wie \frac{2}{4}=0,5 oder \frac{4}{8}=0,5 oder auch gar \frac{16384}{32768}=0,5.

Also kann man Brüche kürzen, oder eben auch erweitern. Wichtig ist nur, dass das Verhältnis gleich bleibt. Deshalb darf immer nur mit dem gleichen Teiler oder Multiplikator gekürzt oder erweitert werden.

    \[\frac{4}{8}=\frac{\cancelto{2}{4}}{\cancelto{4}{8}}=\[\frac{2}{4}=\frac{\cancelto{1}{2}}{\cancelto{2}{4}}=\frac{1}{2}=0,5\]

Ist im Zähler oder Nenner eine Multiplikation oder Division, wird durch kürzen oder erweitern das Verhältnis nicht beeinflusst. Ist jedoch eine  im Zähler oder Nenner eine Addition oder Subtraktion, so würde das Verhältnis durch kürzen oder erweitern gestört.

Daraus folgen die drei wichtigsten Regeln im Umgang mit Brüchen:

  • Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor multipliziert werden.
  • Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch den gleichen Divisor geteilt werden. 
  • Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.
    (Oder diejenigen die unbedingt bei Fr. Dozentin Mathe die Rolläden putzen wollen.. sorry, kleiner Insider-Gag

Um unter günstigen Umständen jedoch trotzdem Kürzen zu können, bietet sich das Ausklammern an:

    \[\frac{9x+18y}{9}=\frac{9*(x+2y)}{9}=\frac{{\cancelto{1}{9}}*(x+2y)}{\cancelto{1}{9}}=x+2y \]

Vorzeichen bei Brüchen

Auch dies mag trivial klingen, ist es aber keineswegs. Ein vorzeichenbehafteter Bruch kann auf folgende drei Arten dargestellt und mathematisch behandelt werden ohne dass sich sein Wert ändert:

    \[-\frac{1}{2}=\frac{-1}{2}=\frac{1}{-2}\]

Unechte Brüche

Ist das Verhältnis eines Bruches größer als 1, so gilt er als unechter Bruch:

Echter Bruch = \frac{3}{4}=0,75

Unechter Bruch = \frac{5}{4}=1\frac{1}{4}=1,25

Sobald also der Zähler größer wird als der Nenner, kippt das Verhältnis über die „1“.

Brüche dividieren

Das dividieren von Brüchen ist eine sehr komfortable Angelegenheit. Denn dadurch, dass im Bruch ja schon eine Division enthalten ist, braucht man den dortigen Divisior lediglich mit dem gewünschten Divisor zu multiplizieren. An diesem Beispiel wird es schnell deutlich: Der Bruch \frac{1}{2}soll durch „2“ geteilt werden. Selbstverständlich ist also 0,5 geteilt durch 2 = 0,25. Wer ein halbes Pfund Butter hat und dieses teilt, hat hinterher zwei Viertel-Pfund.

    \[\frac{1}{2}:2=\frac{1}{2*2}=\frac{1}{4}=0,25\]

Brüche zu dividieren ist also eine ziemlich einfach Sache.

Reziprok – Multiplikation mit dem Kehrwert

Soll jedoch ein ganzer Bruch durch einen anderen ganzen Bruch geteilt werden, so wird einfach mit dem Kehrwert multipliziert.

    \[\frac{5}{16}:\frac{3}{5}=\frac{5}{16}*\frac{5}{3}=\frac{5*5}{16*3}=\frac{25}{48}\]

Gleichnamige Brüche

Will man verschiedenartige Brüche miteinander verrechnen, so stellt man schnell fest, dass dies nicht so ohne weiteres funktioniert. Die Brüche müssen erst gleichnamig gemacht werden. Dies führt uns sehr schnell zum nächsten Thema:

KGV und GGT

Das KGV ist das kleinste, gemeinsame Vielfache.
Der GGT ist der größte, gemeinsame Teiler.
Beide werden recht oft und leicht verwechselt.
Deshalb hier nur kurz zur Wiederholung:

KGV

Aus der Zahlenreihe 2, 4, 6 ergibt sich ein KGV von 12.
Gesucht wird immer diejenige Zahl, die durch alle Zahlen der Reihe ganzzahlig teilbar ist. Natürlich könnte man einfach 2*4*6=48 rechnen, aber es geht ja um die kleinste Zahl die dies erreicht, weil damit einfacher (weiter) zu rechnen ist.

GGT

Aus der Zahlenreihe 4, 8, 16 ergibt sich ein GGT von 4.
Gesucht wird die größte Zahl, durch die jede Zahl der Reihe ganzzahlig teilbar ist.

Zur Feststellung des GGT eignen sich drei Verfahren, die natürlich alle zum selben Ergebnis kommen:

Zahl 1 = 28, Zahl 2 = 70

Erstes Verfahren: Euklidischer Algorithmus
28 : 70 = 0 Rest 28. Also ist ggT (28,70)= ggT (70,28)
70 : 28 = 2 Rest 14. Also ist ggT (70,28)= ggT (28,14)
28 : 14 = 2 Rest 0. Also ist ggT (28,14)= ggT (14,0)
Ergebnis: Der ggT von 28 und 70 ist 14.
Zweites Verfahren: Vergleichen der Teilermengen.
Die Teilermenge von 28 lautet: {1,2,4,7,14,28}.
Die Teilermenge von 70 lautet: {1,2,5,7,10,14,35,70}.
Die größte in beiden Teilermengen vorkommende Zahl ist 14. Also ist 14 der ggT von 28 und 70.

Dritte Möglichkeit: Vergleichen der Primfaktorzerlegung
Die Primfaktorzerlegung von 28 lautet: 28= 2*2*7.
Die Primfaktorzerlegung von 70 lautet: 70= 2*5*7.
Die gemeinsamen Primfaktoren sind: 2*7.
Also ist 14 der ggT.

 

 

Gleichnamig machen

Ungleichnamige Brüche lassen sich nicht zusammen verarbeiten.

 Beispiel:

    \[\frac{16}{28}+\frac{58}{70}=?\]

Wenn wir jedoch den KGV ermitteln, können wir diesen als gemeinsamen Nenner verwenden, indem wir die Brüche auf diesen erweitern.

Das KGV aus 28 und 70 ist 140.
Der erste Bruch muss also um 5, der zweite um 2 erweitert werden. Dann ist die Aufgabe lösbar und im letzten Schritt sogar noch durch 28 kürzbar.

    \[\frac{16*5}{28*5}+\frac{58*2}{70*2}=\frac{80}{140}+\frac{116}{140}=\frac{196}{140}=1\frac{56}{140} =1\frac{\cancelto{2}{56}}{\cancelto{5}{140}}=1,4\]

Permanentlink zu diesem Beitrag: http://www.betriebswirtblog.de/bruche-bruchrechnung/

Schreibe einen Kommentar

Your email address will not be published.