Sep 05 2011

Lineare Gleichungen

DAA Mathe 11.11.10

Lineare Gleichungen

Linearen Gleichungen haftet der Ruf an, einfach zu sein. Nun. Das stimmt. Eigentlich sind sie das. Aber spätestens, wenn man eine ausgefuchste Dozentin hat, wird man trotzdem ganz schön gefordert.

Das Grundprinzip bei Gleichungen ist, dass auf jeder Seite des Gleichheitszeichens die Wertigkeit identisch – also gleich ist. Jedoch ausgedrückt in unterschiedlichen mathematischen Termen. Wir bekommen im Unterricht die Gleichungen „nur“ vorgesetzt. Da schleicht sich leicht das Gefühl ein, Gleichungen wären nur Foltermethoden von Mathematikern, die Andere, noch Lernende gerne ein wenig ärgern möchten. Das ist natürlich Quatsch. Lehrer geben Schülern nur deshalb „fertige“ Gleichungsaufgaben, um effizienter zu sein, also mehr Gleichungen in derselben Zeit behandeln zu können.

Denn die Gleichung ist ein Instrument, um ein mathematisches Problem zu lösen: Das Problem der Unbekannten.
Wenn man gerne einen bestimmten Wert hätte, dieses aber weder auf direktem Wege messen oder anders ermitteln kann, dann kann man sich mit einer Gleichung behelfen. Diese muss man dann zuerst selbst aufstellen. Da uns diese Vorarbeit jedoch abgenommen wird, und wir oft nur die abstrakten Gleichungen vorgesetzt bekommen, geht uns Schülern & Studenten die Sinnhaftigkeit etwas ab. Deshalb hier ein, zwei Beispiele:

Was steht vor McDonalds und hat einen IQ von 120?

Sechs Mantafahrer!
Jetzt ist aber die Frage: Wieviel IQ hat denn demnach ein einzelner Mantafahrer durchschnittlich? Dazu müssen wir eine Gleichung aufstellen! (Natürlich kennen wir das Ergebnis schon, aber nur, weil wir bereits im Kopf eine Gleichung aufgestellt und gelöst haben!)
Also, trotzdem mal zu Fuß:

x*6=120 und | : 6 um auf 1 herunterzubrechen
x=20

OK. Das war zu einfach.

Ich habe ein Foto von einem Freund gemacht. Er und seine Freundin stehen gerade nebeneinander. Von ihm weiß ich, dass er 1,80m groß ist. Wie groß sie ist, weiß ich nicht, würde es aber gerne wissen. Also nehme ich mir ein Lineal und messe. Manni ist also 1,80m, auf dem Foto messe ich 7cm. Seine Freundin daneben kommt auf 6cm. Sie ist also 6/7tel so groß wie er. Also stelle ich die Gleichung auf:

x*7=1,80*6 und hole die 7 „rüber“ also :7
x=1,80*6/7 und das kann man ausrechnen.
x=1,54 (gerundet)

Gleichungen haben also ihren Sinn und sind nicht nur Schikane. Bisher waren auch alle Gleichungen sehr einfach. Deshalb hier in aufsteigender Reihenfolge mehr davon.

Beim Multiplizieren von Gleichungen muss mit jedem Term multipliziert werden.

\frac{3}{x}-4=5+\frac{5}{x} |*x
3-4x=5x+5 | +4x -3
0=9x+2 | -2
-2=9x | :9
\frac{-2}{9}=x
x=-\frac{2}{9}

Beim Auflösen von Klammern muss auf die Vorzeichen geachtet werden.

51-(8x-15)=36x-[55-(7x+23)+2x] | Klammern auflösen
51-8x+15=36x-[55-7x-23+2x] | Klammern auflösen
66-8x=36x-55+7x+23-2x | Zusammenfassen
66-8x=41x-32 | +32 +8x
98=49x | : 49
x=2

Zuerst soviel zusammen fassen wie möglich,
dann Vorzeichen umwandeln

-2,75=\frac{x-5-3x+3}{8} | Zusammenfassen
-2,75=\frac{-4x-2}{8} | *8
-22=-4x-2 | +2
-24=-4x | :4
-6=-x | *(-1)
6=x
x=6

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