Aug 22 2011

Potenzieren

DAA Mathe 09.11.10

Potenzieren

So langsam nimmt der Mathekurs Fahrt auf. Und es wird stellenweise deutlich, warum wir uns zu Anfang zum Verständnis nochmal die Grundrechenarten und somit das Kommutativgesetz angeschaut haben.

Eine andere, kürzere Schreibweise für 2*2*2 ist 2^3.

    \[2*2*2=2^3=8\]

Der Term 2^3 wird als Potenz bezeichnet. Wobei hier die 2 die Basis darstellt und die 3 den Exponenten.

Vorzeichen

Bei Potenzen gibt es eine Besonderheit bei Vorzeichen. Diese sind logischerweise identisch mit den Regeln für Multiplikationen, jedoch ergibt genau dies einen besonderen Effekt.

Vorzeichenregeln beim Multiplizieren:

+*- = –
-*+ = –
+*+ = +
-*- = +
-2^3 ergibt also zwangsläufig ein negativ behaftetes Ergebnis,
-2^4 dagegen zwangsläufig ein positiv behaftetes Ergebnis.

Daraus läßt sich ableiten: Negativ vorzeichenbehaftete Potenzen werden mit ungeradem Exponenten immer negativ bleiben, mit geradem Exponenten immer positiv werden. Positiv vorzeichenbehaftete Potenzen können dagegen nicht negativ werden.
oder kurz und simpel: Nur aus ungeraden Potenzen mit Minus davor  ergibt sich ein Ergebnis mit einem Minus davor.

Rechnen mit Potenzen

Das Rechnen mit Potenzen ist erlaubt, wenn der Exponent und die Basis gleich sind.

3a^3-b^2+5a^3-b^2 = 8a^3-2b^2

Für das Multiplizieren reicht es, wenn die Basis gleich ist.

Angewandtes Kommutativgesetz

Beispiel 1:

    \[3b^2*2b^3 = 6b^5\]

„Gedachter Rechenweg“

    \[3*2=6 ... b^2*b^3=b^5 ... =6*b^5 =6b^5\]

Beispiel 2:

    \[4x^3*5x^2*3x = 60x^6$\]

„Gedachter Rechenweg“

    \[4*5*3=60 ... x^3*x^2=x^6 ... = 60*x^6 = 60x^6\]

Ausnahmeregel

1*1=1, 1*0=0 gilt üblicherweise. Das ist auch einleuchtend. Habe ich einmal einen Euro aus meinem Portemainee genommen, habe ich einen Euro in der Hand. Habe ich keinmal einen Euro aus meinem Portmainee genommen, habe ich auch keinen Euro in der Hand. Sollte man meinen. Ist auch so. Allerdings gilt bei Potenzen eine einzige, winzige Ausnahme. Denn hier gilt n^0 = 1. Dies ist dem Umstand geschuldet, dass ein Wert faktisch auch dann noch vorhanden ist, wenn sich die Exponenten eventuell schon eliminiert haben und somit der Faktor noch den Wert „1“ haben muss, damit nicht eine größere zusammenhängende Formel automatisch gleich Null wird.

Hier ein Beispiel für die Notwendigkeit und mathematische Korrektheit:

    \[\frac{2^5}{2^7} = \frac{\cancel{2}* \cancel{2}* \cancel{2}* \cancel{2}* \cancel{2}}{ \cancel{2}* \cancel{2}* \cancel{2}* \cancel{2}* \cancel{2}* 2*2}= 2^{5-7} = 2^{-2} = \frac{1}{2*2} = \frac{1}{4}\]

Nach dem Kürzen im Nenner würde sonst kein Wert übrigbleiben.

Reziproker Kehrwerttrick zum Vorzeichenwechsel

Ein negativ vorzeichenbehafteter Exponent kann problematisch werden. Wie schön, dass wir ihn in der Mathematik einfach mit einem reziproken Trick verwandeln können.

    \[\left(\displaystyle \frac{2}{5} \right)^{-3} =  \left(\displaystyle \frac{5}{2} \right)^3\]

 

Potenzen dividieren

Potenzen gleicher Basis können dividiert werden, indem man die Exponenten subtrahiert.

    \[\frac{2^5}{2^3}=2^{5-3}=2^2=4\]

Beweis:

    \[\frac{2^5}{2^3} = \frac{\cancel{2}* \cancel{2}* \cancel{2}*2*2}{ \cancel{2}* \cancel{2}* \cancel{2}} =  \frac{2*2}{1} = 4\]

Potenzen potenzieren

Das klingt schon pervers. Das muss besonders gemein und schwierig sein, oder?

    \[(2^3)^2 = 2^3*2^3=2^6\]

Das Gegenteil ist der Fall. Bei zu potenzierenden Potenzen werden einfach die Exponenten miteinander multipliziert. Fertig.

Und sogar das schöne Kommutativgesetz begleitet uns auch hier noch: (2^3)^2 = (2^2)^3

Genauso (b^3)^4 = b^{12} und (a^3)^{x+1} = a^{3x+3}

 

So. Nun ist es 05:10, Montag früh, ich geh‘ jetzt schlafen. Die binomischen Formeln müssen bis nach dem Frühstück warten – meinem Frühstück 😉

 

 

 

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